等差数列（an)中，a1<0且3a4=5a11,求前n项和Sn 的最大值是否为S21

楼主问的应该是Sn的绝对值最大值。
由于a4和a11是同号，要么大于零，要么都小于零。
假设都大于零，而a1小于零，则a11应大于a4，与实际不符，
因此，a4和a11都小于零，那么有a11=3/5*a4，且公差大于零，
设公差为x，则有：
a1+10x=3/5(a1+3x),解得x=-2/41*a1,
即an=a1+ -2/41*(n-1)*a1;

因此，Sn=a1*n-n(n-1)/41*a1=n(42-n)/41*a1, S42=0;
当n<42时，Sn小于零， n>42时，Sn大于零。
分类讨论，

当n<42时，
|Sn|=(n^2-42n)/41*a1=((n-21)^2-441)/41*a1;
当n=21时，函数取得最大值-441/41*a1。

当n>42时，
|Sn|=（441-(n-21)^2）/41*a1;

假设|Sn|<|S21|,计算可得n=52,
即当n>52时，|Sn|>|S21|;n<52时，|Sn|<|S21|
综上所述，可得，当n<52时，|S21|最大。

设公差为d
因为a1<0且3a4=5a11
3a4=3a1+9d
5a11=5a1+50d
3a1+9d=5a1+50d
d=-2a1/41>0
所以前n项和Sn不存在最大值.

也许是你把最小值打成了最大值？此题Sn只有最小值S21！证明如下；
设等差数列（an)的公差是d
∵a4=a1+3d,a11=a1+10d
a1<0且3a4=5a11
∴3a1+9d=5a1+50d
==>41d=-2a1
==>d=-2a1/41>0
∴Sn=a1+a2+a3+.......+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+..